期权平价关系是金融领域中一个重要的理论，它描述了欧式看涨期权和看跌期权之间的一种平衡关系。证明期权平价关系的有效性，对于理解期权市场的运行机制以及在投资中的应用具有重要意义。
首先，我们来证明期权平价关系的有效性。期权平价关系基于无套利原理，即市场中不存在无风险的套利机会。假设存在一个欧式看涨期权和一个欧式看跌期权，它们具有相同的标的资产、执行价格和到期时间。同时，我们考虑一个由标的资产和无风险债券组成的投资组合。
设\(C\)为欧式看涨期权的价格，\(P\)为欧式看跌期权的价格，\(S\)为标的资产的当前价格，\(K\)为执行价格，\(r\)为无风险利率，\(T\)为到期时间。根据无套利原理，我们可以构建两个投资组合：
组合A：买入一个欧式看涨期权，同时卖出一个欧式看跌期权。
组合B：买入一股标的资产，同时借入金额为\(K e^{-rT}\)的无风险债券。
在到期时，组合A的价值为：
当\(S_T \geq K\)时，\(C_T - P_T = (S_T - K) - 0 = S_T - K\)；
当\(S_T
组合B的价值为：\(S_T - K e^{-rT} \times e^{rT} = S_T - K\)。
由于两个组合在到期时的价值相等，根据无套利原理，它们在当前时刻的价值也应该相等，即：
\(C - P = S - K e^{-rT}\)，这就是期权平价关系的表达式。
接下来，我们探讨期权平价关系在投资中的运用。期权平价关系可以用于期权定价的验证和套利交易。
在期权定价验证方面，如果市场上的期权价格不符合期权平价关系，就意味着存在定价错误。投资者可以通过计算理论价格，并与市场价格进行比较，来判断期权是否被高估或低估。
在套利交易方面，如果市场上存在期权平价关系的偏离，投资者可以通过构建套利组合来获取无风险利润。例如，如果\(C - P > S - K e^{-rT}\)，投资者可以卖出组合A，买入组合B，在到期时获得无风险利润。
此外，期权平价关系还可以用于风险管理。投资者可以根据期权平价关系，通过调整期权和标的资产的头寸，来对冲风险。例如，投资者持有标的资产多头，可以通过买入看跌期权和卖出看涨期权来构建一个风险对冲组合。
总之，期权平价关系是金融领域中一个重要的理论，它的有效性可以通过无套利原理来证明。在投资中，期权平价关系可以用于期权定价的验证、套利交易和风险管理，为投资者提供了重要的决策依据。